Las 12 monedas y la balanza

Tienes 12 monedas idénticas a simple vista. Una es falsa y puede ser más pesada o más ligera (no sabes cuál de los dos casos).

Dispones de una balanza de dos platillos y puedes hacer exactamente 3 pesadas.

¿Se puede identificar la moneda falsa y además decidir si pesa más o pesa menos?

1. Caso C: en pesada 1 baja la derecha (simétrico de B)
2. Las hipótesis reales son 24: si baja 12: 12 es pesada.
3. Cada pesada tiene 3 resultados posibles: izquierda baja, equilibrio, derecha baja. Con 3 pesadas hay hasta 3^3=27 patrones posibles.

**Respuesta:** Sí, se puede identificar la moneda falsa y decidir si es más pesada o más ligera en exactamente 3 pesadas.

**1) Marco de información (por qué 3 pesadas alcanzan)**

Cada pesada tiene 3 resultados posibles: izquierda baja, equilibrio, derecha baja.
Con 3 pesadas hay hasta
$$
3^3=27
$$
patrones posibles.

Las hipótesis reales son 24:

• 12 opciones de moneda falsa,
• y para cada una, dos tipos: pesada o ligera.

Como $27>24$, una estrategia bien diseñada puede distinguir todos los casos.

**2) Primera pesada (partición principal)**

Pesada 1:
$$
(1,2,3,4)\,\text{vs}\,(5,6,7,8).
$$

Se abren 3 ramas.

**Caso A: equilibrio**

Entonces la falsa está en $\{9,10,11,12\}$.

Pesada 2:
$$
(9,10,11)\,\text{vs}\,(1,2,3)
$$
(donde 1,2,3 son buenas).

• Si equilibra: la falsa es 12.

Pesada 3: $12$ vs $1$.

• si baja 12: 12 es pesada;
• si sube 12: 12 es ligera.
• Si baja el lado $9,10,11$: la falsa es una de esas y es pesada.

Pesada 3: $9$ vs $10$:

• si baja 9: 9 pesada;
• si baja 10: 10 pesada;
• si equilibran: 11 pesada.
• Si sube el lado $9,10,11$: la falsa es una de esas y es ligera.

Pesada 3: $9$ vs $10$:

• si sube 9: 9 ligera;
• si sube 10: 10 ligera;
• si equilibran: 11 ligera.

**Caso B: en pesada 1 baja la izquierda**

Candidatos:

• pesada en $\{1,2,3,4\}$, o
• ligera en $\{5,6,7,8\}$.

Pesada 2:
$$
(1,2,5)\,\text{vs}\,(3,6,9)
$$
con 9 buena.

• Si equilibra: candidatos $\{4\text{ pesada},7\text{ ligera},8\text{ ligera}\}$.

Pesada 3: $7$ vs $8$:

• si equilibran: 4 pesada;
• si baja 7: 8 ligera;
• si baja 8: 7 ligera.
• Si baja izquierda: candidatos $\{1\text{ pesada},2\text{ pesada},6\text{ ligera}\}$.

Pesada 3: $1$ vs $2$:

• si equilibran: 6 ligera;
• si baja 1: 1 pesada;
• si baja 2: 2 pesada.
• Si baja derecha: candidatos $\{3\text{ pesada},5\text{ ligera}\}$.

Pesada 3: $3$ vs $9$:

• si equilibran: 5 ligera;
• si baja 3: 3 pesada.

**Caso C: en pesada 1 baja la derecha (simétrico de B)**

Candidatos:

• pesada en $\{5,6,7,8\}$, o
• ligera en $\{1,2,3,4\}$.

Pesada 2:
$$
(5,6,1)\,\text{vs}\,(7,2,9)
$$
con 9 buena.

• Si equilibra: candidatos $\{8\text{ pesada},3\text{ ligera},4\text{ ligera}\}$.

Pesada 3: $3$ vs $4$:

• si equilibran: 8 pesada;
• si baja 3: 4 ligera;
• si baja 4: 3 ligera.
• Si baja izquierda: candidatos $\{5\text{ pesada},6\text{ pesada},2\text{ ligera}\}$.

Pesada 3: $5$ vs $6$:

• si equilibran: 2 ligera;
• si baja 5: 5 pesada;
• si baja 6: 6 pesada.
• Si baja derecha: candidatos $\{7\text{ pesada},1\text{ ligera}\}$.

Pesada 3: $7$ vs $9$:

• si equilibran: 1 ligera;
• si baja 7: 7 pesada.

**3) Conclusión metodológica**

No se trata de memorizar una tabla: se trata de construir un árbol de decisión donde cada resultado reduce el conjunto de hipótesis sin ambigüedad. Esta estrategia separa las 24 hipótesis en 3 niveles y siempre termina con identificación única.

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