Los interruptores y el millón de bombillas

Hay un millón de bombillas en fila, todas apagadas inicialmente. Hay un millón de personas.

La persona 1 acciona todos los interruptores (1, 2, 3, ...). La persona 2 acciona cada segundo interruptor (2, 4, 6, ...).

La persona 3 cada tercer interruptor (3, 6, 9, ...). Así sucesivamente.

¿Cuántas bombillas quedan encendidas al final y por qué?

1. La bombilla n es accionada por las personas cuyos números dividen a n.
2. 3) Conteo final en 1,dots,10^6
3. Conclusión: quedan encendidas las bombillas 1,4,9,16,dots,1 000 000, en total boxed 1000 .

**Respuesta:** Quedan encendidas exactamente
$$
1000
$$
bombillas: las de índice cuadrado perfecto.

**1) Modelo matemático**

La bombilla $n$ es accionada por las personas cuyos números dividen a $n$.

Número de accionamientos de la bombilla $n$:
$$
\tau(n)\quad (\text{número de divisores positivos de }n).
$$

Como empieza apagada y cada accionamiento invierte el estado, queda encendida si y solo si $\tau(n)$ es impar.

**2) ¿Cuándo $\tau(n)$ es impar?**

Los divisores suelen venir en pares:
$$
(d,\,n/d).
$$

Hay divisor "sin pareja" únicamente cuando:
$$
d=n/d\iff d^2=n,
$$
es decir, cuando $n$ es cuadrado perfecto.

Por tanto:

• si $n$ no es cuadrado, $\tau(n)$ es par;
• si $n=k^2$, $\tau(n)$ es impar.

**3) Conteo final en $1,\dots,10^6$**

Los cuadrados perfectos en ese rango son:
$$
1^2,2^2,\dots,1000^2,
$$
porque
$$
1000^2=1\,000\,000.
$$

Hay exactamente 1000 de ellos.

**Conclusión:** quedan encendidas las bombillas
$$
1,4,9,16,\dots,1\,000\,000,
$$
en total
$$
\boxed{1000}.
$$

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