La fiesta sin apretones distintos

**Qué entrena:** contradicción global a partir de extremos locales.

En una fiesta hay $n$ personas, con $n\ge 2$.

Cada persona anota cuántos apretones de manos dio durante la fiesta.

Pregunta: ¿pueden aparecer **$n$ números todos distintos** entre esos recuentos?

Es decir, ¿es posible que una persona haya dado 0 apretones, otra 1, otra 2, ..., y otra $n-1$?

1. Pero entonces coexistirían: una persona con 0 apretones.
2. Si hubiese n recuentos todos distintos entre n personas, necesariamente serían: 0,1,2,dots,n-1.
3. Tramo final: una persona con n-1 apretones. La de n-1 tuvo que saludar a todo el mundo, incluida la de 0. Contradicción. Luego, si hubiese n recuentos todos distintos entre n personas, necesariamente serían: 0,1,2,dots,n-1.

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**Respuesta:** No, es imposible.

Si hubiese $n$ recuentos todos distintos entre $n$ personas, necesariamente serían:
$$
0,1,2,\dots,n-1.
$$

Pero entonces coexistirían:

• una persona con 0 apretones,
• una persona con $n-1$ apretones.

La de $n-1$ tuvo que saludar a todo el mundo, incluida la de 0. Contradicción.

Por tanto, en cualquier fiesta con $n\ge2$, al menos dos personas comparten número de apretones.

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