El último pasajero

**Qué entrena:** estados absorbentes y simetría probabilística.

Un avión tiene $n$ asientos ($n\ge 2$) y $n$ pasajeros con asiento asignado.

El pasajero 1 pierde su tarjeta y se sienta en un asiento aleatorio.

Desde el pasajero 2 en adelante:

• si su asiento está libre, se sienta en él;
• si está ocupado, elige un asiento libre al azar.

¿Cuál es la probabilidad de que el último pasajero se siente en su propio asiento?

1. Por simetría entre ambos, cada uno ocurre con probabilidad 1/2.
2. Cuando algún pasajero se ve forzado a elegir aleatoriamente, puede ocurrir: Elige asiento 1: desde ahí el caos se cierra y el último acaba bien.
3. Luego: mathbb P (éxito del último)=mathbb P (sale primero el asiento 1)=tfrac12.

[Volver al problema](#prob-ultimo-pasajero-avion)

**Respuesta:**
$$
\mathbb{P}(\text{último en su asiento})=\tfrac12 \quad (n\ge2).
$$

**Razón estructural:**

Mientras el proceso no termina, solo hay dos asientos “críticos”:

• asiento 1 (del pasajero despistado),
• asiento $n$ (del último pasajero).

Cuando algún pasajero se ve forzado a elegir aleatoriamente, puede ocurrir:

1. Elige asiento 1: desde ahí el caos se cierra y el último acaba bien.
2. Elige asiento $n$: el último ya no podrá sentarse en el suyo.
3. Elige otro asiento: el problema se “traslada” al pasajero dueño de ese asiento y la misma estructura continúa.

Por tanto, el proceso termina cuando aparece por primera vez uno de los dos absorbentes: asiento 1 o asiento $n$.

Por simetría entre ambos, cada uno ocurre con probabilidad $1/2$.

Luego:
$$
\mathbb{P}(\text{éxito del último})=\mathbb{P}(\text{sale primero el asiento 1})=\tfrac12.
$$

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