Las bolas blancas en dos cajas

**Qué entrena:** optimización probabilística rompiendo simetrías.

Tienes 50 bolas blancas y 50 negras.

Debes repartirlas en dos cajas, cumpliendo:

• cada caja tiene al menos una bola.

Luego se hace este experimento:

1. se elige una de las dos cajas al azar (probabilidad 1/2 cada una),
2. de esa caja se extrae una bola al azar.

Ganas si la bola extraída es blanca.

¿Cómo debes repartir las bolas para maximizar la probabilidad de ganar?
¿Cuál es esa probabilidad máxima?

1. Y se verifica que p(x) decrece con x, así que el máximo se da en x=1.
2. Con esa distribución: mathbb P (blanca)=frac12·1+frac12·frac 49 99 =frac 148 198 approx0.7475.
3. coloca 1 bola blanca sola en una caja, y en la otra las 99 restantes (49 blancas y 50 negras).

[Volver al problema](#prob-bolas-blancas-dos-cajas)

**Respuesta:** coloca 1 bola blanca sola en una caja, y en la otra las 99 restantes (49 blancas y 50 negras).

Con esa distribución:
$$
\mathbb{P}(\text{blanca})=\frac12\cdot1+\frac12\cdot\frac{49}{99}
=\frac{148}{198}\approx0.7475.
$$

Para justificar optimalidad, en una solución óptima la caja “pequeña” no debe contener bolas negras (solo empeoran su fracción de blancas).
Si esa caja tiene $x$ blancas y 0 negras, la probabilidad es:
$$
p(x)=\frac12+\frac12\cdot\frac{50-x}{100-x},\quad 1\le x\le50.
$$
Y se verifica que $p(x)$ decrece con $x$, así que el máximo se da en $x=1$.

**Conclusión:** el máximo exacto es $\frac12+\frac12\cdot\frac{49}{99}\approx74.75\%$.

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