El coloreo imposible de 1 a 5

**Qué entrena:** cadena de implicaciones hasta contradicción.

Quieres colorear los números $\{1,2,3,4,5\}$ con dos colores (rojo y azul).

La regla prohibida es:

• no puede haber tres números del mismo color $x,y,z$ que cumplan $x+y=z$ (permitiendo $x=y$).

Pregunta: ¿existe algún coloreo que cumpla la regla?

1. Sin pérdida de generalidad, colorea el 1 de rojo.
2. El 3 no puede ser ni rojo ni azul: contradicción.
3. Como 1+1=2, el 2 no puede ser rojo. Luego 2 es azul.

[Volver al problema](#prob-coloreo-imposible-1-a-5)

**Respuesta:** No, es imposible.

Sin pérdida de generalidad, colorea el 1 de rojo.

1. Como $1+1=2$, el 2 no puede ser rojo. Luego 2 es azul.
2. Como $2+2=4$, el 4 no puede ser azul. Luego 4 es rojo.
3. Como $1+4=5$, el 5 no puede ser rojo. Luego 5 es azul.

Ahora mira el 3:

• Si 3 es rojo, entonces $1+3=4$ da un triple rojo prohibido.
• Si 3 es azul, entonces $2+3=5$ da un triple azul prohibido.

El 3 no puede ser ni rojo ni azul: contradicción.

Por tanto no existe coloreo válido para $\{1,2,3,4,5\}$.

---