El código con checksum y reverso

**Qué entrena:** cruce de congruencias con simetría decimal.

Un código tiene cuatro cifras distintas.

Se sabe que:

• es múltiplo de 9,
• la última cifra es el resto al dividir entre 10 la suma de las tres primeras,
• al invertir sus cifras, el nuevo número es 369 mayor que el original.

¿Cuál es el código?

> **Cierre didáctico del nivel**
>
> Una buena solución experta combina dos cosas: prueba de posibilidad y construcción explícita.

1. La condición del reverso: dcba-abcd=369. Equivale a: 999(d-a)+90(c-b)=369.
2. Además, por checksum: dequiv a+b+cpmod 10 . Sustituyendo d=a+1 y c=b-7: a+1equiv a+b+(b-7)pmod 10 Rightarrow 2bequiv 8pmod 10 Rightarrow bequiv 4pmod 5 .
3. Como c=b-7 debe ser dígito, bin\ 7,8,9\ , luego b=9 y c=2.

[Volver al problema](#prob-codigo-checksum-reverso-369)

**Respuesta:**
$$
3924.
$$

Sea el código $abcd$.

La condición del reverso:
$$
dcba-abcd=369.
$$
Equivale a:
$$
999(d-a)+90(c-b)=369.
$$
Dividiendo entre 9:
$$
111(d-a)+10(c-b)=41.
$$
La única posibilidad entera en rango de dígitos es:
$$
d-a=1,\qquad c-b=-7.
$$

Además, por checksum:
$$
d\equiv a+b+c\pmod{10}.
$$
Sustituyendo $d=a+1$ y $c=b-7$:
$$
a+1\equiv a+b+(b-7)\pmod{10}
\Rightarrow 2b\equiv 8\pmod{10}
\Rightarrow b\equiv 4\pmod{5}.
$$
Como $c=b-7$ debe ser dígito, $b\in\{7,8,9\}$, luego $b=9$ y $c=2$.

Queda $a$ usando “múltiplo de 9”:
$$
a+9+2+(a+1)=2a+12\equiv0\pmod9
\Rightarrow 2a+12=18
\Rightarrow a=3.
$$
Entonces $d=4$.

Código:
$$
3924.
$$