El torneo de los empates

**Qué entrena:** conservación de puntos y conteo global.

Cinco equipos juegan una liguilla todos contra todos, una sola vuelta.

Reglas:

• victoria: 3 puntos,
• empate: 1 punto por equipo,
• derrota: 0 puntos.

Al final, los cinco equipos terminan empatados en puntos, y esa puntuación común es impar.

¿Cuántos partidos terminaron en empate?

1. Además, todos terminan con la misma puntuación impar p, por lo que: 5p=30-e.
2. Entonces: 30-e=25 Rightarrow e=5.
3. Con 5 equipos, el total de partidos es: binom 5 2 =10.

[Volver al problema](#prob-torneo-cinco-equipos-empates)

**Respuesta:** hubo exactamente **5** empates.

Con 5 equipos, el total de partidos es:
$$
\binom{5}{2}=10.
$$

Si no hubiera empates, se repartirían:
$$
10\times3=30
$$
puntos.

Cada empate reparte 2 puntos en vez de 3, así que cada empate resta 1 al total global.
Si $e$ es el número de empates:
$$
\text{puntos totales}=30-e.
$$

Además, todos terminan con la misma puntuación impar $p$, por lo que:
$$
5p=30-e.
$$

El total de puntos debe estar entre 20 y 30, y ser múltiplo impar de 5. El único valor posible es 25.

Entonces:
$$
30-e=25 \Rightarrow e=5.
$$

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