El ascensor de pesos combinados

**Qué entrena:** reconstrucción global desde sumas parciales.

Un montacargas solo arranca si la carga total es exactamente **100 kg** o exactamente **150 kg**.

Tienes 5 cajas indivisibles con pesos desconocidos. Un operario dejó anotadas las sumas de todos los pares de cajas (los 10 pares posibles):

$$
110,\ 112,\ 113,\ 114,\ 115,\ 116,\ 117,\ 118,\ 120,\ 121.
$$

¿Existe alguna selección de cajas (1, 2, 3, 4 o las 5) que permita activar el montacargas?

1. con 1 o 4 cajas: implicaría una caja de 100 o 189, de nuevo incompatible con las sumas por pares observadas.
2. Descartamos 100: con 2 cajas: haría falta un par de 100 (no existe).
3. Descartamos 100: con 3 cajas: el par complementario debería sumar 289-100=189 (imposible).

[Volver al problema](#prob-ascensor-pesos-combinados)

**Respuesta:** No. No existe ninguna selección que sume exactamente 100 kg o 150 kg.

Sea $w_1,\dots,w_5$ el peso de las cinco cajas.

La suma de los 10 pares anotados es:
$$
110+112+113+114+115+116+117+118+120+121=1156.
$$

En la suma de todos los pares, cada caja aparece exactamente 4 veces, luego:
$$
4(w_1+\cdots+w_5)=1156 \Rightarrow w_1+\cdots+w_5=289.
$$

Ahora descartamos 150:

• con 2 cajas: haría falta un par que sume 150 (no existe),
• con 3 cajas: el par complementario debería sumar $289-150=139$ (no existe),
• con 1 o 4 cajas: implicaría una caja de 150 o 139, incompatible con que todas las sumas por pares observadas estén entre 110 y 121.

Descartamos 100:

• con 2 cajas: haría falta un par de 100 (no existe),
• con 3 cajas: el par complementario debería sumar $289-100=189$ (imposible),
• con 1 o 4 cajas: implicaría una caja de 100 o 189, de nuevo incompatible con las sumas por pares observadas.

Conclusión: el montacargas no puede arrancar con ninguna combinación de esas cajas.

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