La balanza de Babel

**Qué entrena:** representación balanceada en base 3.

Tienes una balanza de dos platillos y cuatro pesas:
$$
1,\ 3,\ 9,\ 27\ \text{kg}.
$$

Puedes poner pesas en cualquiera de los dos lados.

¿Cuántos pesos enteros distintos entre 1 y 40 kg puedes medir exactamente?

1. Con pesas en ambos platillos, cada pesa puede aportar: +w (en el lado de pesas).
2. Con win\ 1,3,9,27\ esto equivale a representar el peso buscado en base 3 balanceada con dígitos -1,0,+1.
3. se pueden medir todos los enteros de 1 a 40 (40 valores).

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**Respuesta:** se pueden medir **todos** los enteros de 1 a 40 (40 valores).

Con pesas en ambos platillos, cada pesa puede aportar:

• $+w$ (en el lado de pesas),
• $0$ (no usarla),
• $-w$ (en el lado del objeto).

Con $w\in\{1,3,9,27\}$ esto equivale a representar el peso buscado en base 3 balanceada con dígitos $-1,0,+1$.

El máximo absoluto representable es:
$$
1+3+9+27=40.
$$

Y la base 3 balanceada garantiza cobertura de todos los enteros entre $-40$ y $40$. En particular, todos los pesos positivos de 1 a 40.

Ejemplo:
$$
20 = 27-9+3-1.
$$

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