El verdugo y los sombreros (3 colores)

**Qué entrena:** checksum modular con decodificación secuencial.

Hay 10 personas en fila, numeradas del 1 (delante) al 10 (detrás).

Cada sombrero puede ser rojo, azul o verde.

Reglas de visión y turno:

• la persona 10 habla primero y ve los sombreros de 1..9,
• la persona 9 habla después y ve 1..8,
• ...
• la persona 1 habla la última y no ve ninguno.

Todas oyen las respuestas anteriores.

Antes de empezar pueden pactar estrategia.

¿Cuántas personas pueden garantizar salvarse con certeza?

1. Todas excepto la primera quedan determinadas de forma única.
2. Persona 9 conoce y_ 10 , ve x_1,dots,x_8 y despeja x_9: x_9equiv-big(y_ 10 +x_1+·s+x_8big)pmod3. La dice y acierta.
3. Codificación: rojo=0, azul=1, verde=2 (módulo 3).

[Volver al problema](#prob-sombreros-3-colores-modulo)

**Respuesta:** se garantizan **9** salvados.

Codificación: rojo=0, azul=1, verde=2 (módulo 3).

Sea $x_1,\dots,x_{10}$ el valor real de cada sombrero.

La persona 10 (primera en hablar), que ve $x_1,\dots,x_9$, dice:
$$
y_{10}\equiv-(x_1+\cdots+x_9)\pmod 3.
$$

Puede fallar, pero deja fijada la ecuación:
$$
y_{10}+x_1+\cdots+x_9\equiv0\pmod3.
$$

Persona 9 conoce $y_{10}$, ve $x_1,\dots,x_8$ y despeja $x_9$:
$$
x_9\equiv-\big(y_{10}+x_1+\cdots+x_8\big)\pmod3.
$$
La dice y acierta.

Luego persona 8 ya conoce $x_9$ (oído), ve $x_1,\dots,x_7$ y despeja $x_8$; y así sucesivamente hasta la 1.

Todas excepto la primera quedan determinadas de forma única.

**Garantía:** 9 salvados siempre; la primera solo tiene probabilidad $1/3$ de acertar.

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