La apuesta de la urna

**Qué entrena:** procesos de refuerzo y distribución final contraintuitiva.

Urna inicial: 1 bola roja y 1 azul.

En cada turno:

1. se extrae una bola al azar,
2. se devuelve a la urna,
3. y se añade una bola extra del mismo color.

Tras $n$ turnos hay $n+2$ bolas.

Dos apuestas:

• Carlos: “la proporción de rojas se concentra alrededor de 1/2”.
• María: “todos los números finales posibles de rojas son equiprobables”.

¿Quién tiene razón?

1. Así que la distribución final no se concentra en torno a 1/2; es uniforme sobre los estados posibles.
2. Comprobación corta para n=2: cada uno ocurre con probabilidad 1/3.
3. Tras n turnos, el número de bolas rojas posibles es: 1,2,dots,n+1 y esos n+1 estados son equiprobables: mathbb P (R_n=r)=frac1 n+1 (r=1,dots,n+1).

[Volver al problema](#prob-urna-polya-uniforme)

**Respuesta:** María tiene razón.

Tras $n$ turnos, el número de bolas rojas posibles es:
$$
1,2,\dots,n+1
$$
y esos $n+1$ estados son equiprobables:
$$
\mathbb{P}(R_n=r)=\frac1{n+1}\quad (r=1,\dots,n+1).
$$

Comprobación corta para $n=2$:

• estados posibles de rojas al final: 1, 2, 3;
• cada uno ocurre con probabilidad $1/3$.

Así que la distribución final no se concentra en torno a 1/2; es uniforme sobre los estados posibles.

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