La infección del tablero

**Qué entrena:** invariante de frontera en dinámicas discretas.

En un tablero de $100\times100$, exactamente 99 casillas empiezan infectadas.

Regla por minutos:

• una casilla sana se infecta si comparte borde ortogonal con **al menos dos** casillas infectadas,
• una casilla infectada nunca se cura.

Pregunta: ¿es posible que, tras suficiente tiempo, las 10.000 casillas terminen infectadas?

1. Cuando una casilla sana se infecta, tenía kge2 vecinos ortogonales infectados.
2. Luego el cambio neto es: Delta P=(4-k)-k=4-2kle0. Así que P nunca aumenta.
3. Si todo el tablero 100×100 quedara infectado, la frontera exterior sería: P_f=4·100=400.

[Volver al problema](#prob-infeccion-tablero-perimetro)

**Respuesta:** No. Es imposible infectar las 10.000 casillas.

Define $P$ como el número de bordes entre casillas infectadas y no infectadas (incluyendo el borde exterior del tablero).

Cuando una casilla sana se infecta, tenía $k\ge2$ vecinos ortogonales infectados.

• se eliminan $k$ bordes de frontera,
• se añaden $4-k$ bordes nuevos.

Luego el cambio neto es:
$$
\Delta P=(4-k)-k=4-2k\le0.
$$
Así que $P$ nunca aumenta.

Al inicio, con 99 casillas infectadas:
$$
P_0\le 99\cdot4=396.
$$

Si todo el tablero $100\times100$ quedara infectado, la frontera exterior sería:
$$
P_f=4\cdot100=400.
$$

Pero eso exigiría crecer de $\le396$ a 400, contradicción.

Conclusión: la infección total no puede ocurrir.

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