El submarino invisible

**Qué entrena:** enumeración de estados infinitos y estrategia garantizada.

Hay una línea infinita de casillas enteras:
$$
\dots,-2,-1,0,1,2,\dots
$$

Un submarino invisible tiene:

• posición inicial entera desconocida $X$,
• velocidad entera constante desconocida $V$ (puede ser negativa, positiva o cero).

En el turno $t=1,2,3,\dots$, puedes disparar a una única casilla entera.

El submarino en el turno $t$ está en:
$$
X+Vt.
$$

¿Existe una estrategia que garantice impacto en un número finito de turnos, sin importar $X$ y $V$?

1. Como mathbb Z ×mathbb Z es numerable, fijamos una enumeración: (x_1,v_1),(x_2,v_2),(x_3,v_3),dots
2. En el turno k, disparas a: x_k+v_k k = X+Vk, que es exactamente su posición real.
3. Sí, hay estrategia garantizada en tiempo finito.

[Volver al problema](#prob-submarino-invisible-numerable)

**Respuesta:** Sí, hay estrategia garantizada en tiempo finito.

El estado inicial del submarino es un par entero $(X,V)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$.

Como $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ es numerable, fijamos una enumeración:
$$
(x_1,v_1),(x_2,v_2),(x_3,v_3),\dots
$$

Estrategia:

• en el turno $t$, dispara a la casilla

$$
x_t+v_t\,t.
$$

El submarino real tiene algún estado fijo $(X,V)$, que coincide con un elemento de la lista, digamos el índice $k$:
$$
(X,V)=(x_k,v_k).
$$

En el turno $k$, disparas a:
$$
x_k+v_k\,k = X+Vk,
$$
que es exactamente su posición real.

Por tanto, el impacto está garantizado.

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