El oráculo que se conoce a sí mismo

**Qué entrena:** codificación colectiva con aritmética modular.

Hay 100 personas. En cada frente se escribe un entero de 1 a 100 (pueden repetirse).

Cada persona ve los 99 números de los demás, pero no el suyo.

Después de pensar todo lo que quieran, todas escriben simultáneamente su propia apuesta.

Ganan si **al menos una** persona acierta exactamente su número.

Antes de entrar pueden pactar estrategia. Luego no hay comunicación.

¿Existe una estrategia que garantice victoria siempre?

1. Numeren personas como 0,1,dots,99 (mod 100). Representen también números de frente módulo 100 (el 100 se interpreta como 0).
2. Como entre 0,dots,99 hay exactamente un índice igual a S, exactamente una persona acierta seguro.
3. Entonces: g_iequiv i-(S-x_i)equiv x_i+(i-S)pmod 100 .

[Volver al problema](#prob-oraculo-suma-mod-100)

**Respuesta:** Sí, hay estrategia ganadora garantizada.

Numeren personas como $0,1,\dots,99$ (mod 100).
Representen también números de frente módulo 100 (el 100 se interpreta como 0).

Persona $i$:

1. suma los 99 números que ve: $s_i$ (mod 100),
2. escribe

$$
g_i\equiv i-s_i\pmod{100}.
$$

Sea $S$ la suma real de los 100 números (mod 100).
La persona $i$ ve $s_i\equiv S-x_i$, donde $x_i$ es su número real.
Entonces:
$$
g_i\equiv i-(S-x_i)\equiv x_i+(i-S)\pmod{100}.
$$

Por tanto, $g_i=x_i$ exactamente cuando $i\equiv S\pmod{100}$.

Como entre $0,\dots,99$ hay exactamente un índice igual a $S$, exactamente una persona acierta seguro.

**Conclusión:** siempre gana al menos una persona.

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